Enfrentamientos: Prueba de lógica

Ya tengo algunos días o meses de no publicar algo de Adrián Paenza. Esta vez comparto este pequeño ejercicio de lógica.

CONTRATAPA
¿Cierto o falso?

Por Adrián Paenza

¿Con cuántas ganas está de "desafiarse"? Le pregunto porque lo que sigue es un ejercicio de lógica. Es una buena manera de empezar el día. Uno "lee" las frases que están acá abajo y, una vez que entendió el problema, lo puede llevar con uno a todos lados. No hace falta más el diario. No hace falta más leer otra vez el enunciado.

De hecho, son diez frases muy sencillas. Lo "único" que hay que hacer es determinar cuál o cuáles de ellas son ciertas o falsas.

Son estas diez que siguen:

1) Exactamente una frase de esta lista es falsa.

2) Exactamente dos frases de esta lista son falsas.

3) Exactamente tres frases de esta lista son falsas.

4) Exactamente cuatro frases de esta lista son falsas.

5) Exactamente cinco frases de esta lista son falsas.

6) Exactamente seis frases de esta lista son falsas.

7) Exactamente siete frases de esta lista son falsas.

8) Exactamente ocho frases de esta lista son falsas.

9) Exactamente nueve frases de esta lista son falsas.

10) Exactamente diez frases de esta lista son falsas.

Ahora bien. Antes de leer la solución, le propongo que evalúe usted si es posible que haya alguna(s) frase(s) que sea(n) cierta(s). Y si la(s) hay, que pueda decir no sólo cuál es, sino por qué.

Nos encontramos más abajo.

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Solución

Uno enfrenta el problema suponiendo "a priori" que tiene que analizar todos los posibles casos. Es decir, podría ser que no hubiera ninguna frase que fuera cierta. O bien podría suceder que todas fueran ciertas. O algunas. O una sola. Pero sea cual sea el caso, lo interesante es no sólo determinar cuál o cuáles son, sino las razones que lo llevan a concluir que eso es cierto.

Empecemos juntos. De entrada, la/lo quiero invitar a pensar lo siguiente: ¿será posible que entre las diez frases haya dos (o más) que sean verdaderas al mismo tiempo? Si me permite una sugerencia, no avance en la lectura. Piense si esa situación es posible (que haya dos frases verdaderas). Créame que poder dilucidar por su cuenta si esto es posible le permitirá resolver el problema sin leer nada de lo que sigue.

Ahora sí, sigo yo. Antes de dar la respuesta, quiero proponer un ejemplo que espero sea iluminador.

Supongamos que se pudiera. Es decir, supongamos que fuera posible encontrar, entre las 10, por lo menos dos frases verdaderas.

Sólo para fijar las ideas, supongamos que las frases números 3 y 7 fueran las dos verdaderas.

Esto implicaría que, por un lado, hay exactamente tres frases falsas, por otro, que hay exactamente siete frases falsas. Esto no puede ser cierto al mismo tiempo (¿por qué? No avance hasta no haber pensado un rato el por qué). Luego, las frases 3 y 7 no pueden ser ciertas al mismo tiempo porque obligarían a que el número de frases falsas fueran exactamente tres y siete, lo que no es posible.

Intente usted ahora con cualquier otro par, digamos las números 2 y 8. Esto implicaría que, por un lado, hay exactamente dos frases falsas y por otro, exactamente ocho frases falsas. Esto no puede ser cierto (por las mismas razones que antes).

Y como usted advierte, este razonamiento que usé para demostrar que no pueden ser ciertas simultáneamente las frases 3 y 7 primero, y luego la 2 y la 8, se puede usar con cualquier par de frases.

Por otro lado, tampoco puede ser cierto que ninguna frase sea cierta, porque si fueran las diez frases todas falsas, entonces la frase número 10 sería cierta.

Estos razonamientos entonces, permiten concluir un par de cosas:

a) No puede haber dos o más frases ciertas (porque lleva a una contradicción).

b) No pueden ser las diez frases todas falsas.

Luego, tiene que haber una sola frase verdadera.

La pregunta que hay que responder ahora, es ¿cuál de todas las frases es la verdadera?

Supongamos que fuera la número 7 (por elegir una cualquiera). Esto querría decir que hay exactamente siete frases falsas entre las 10. Eso permitiría que haya tres frases verdaderas (las tres restantes). Pero ya nos convencimos, más arriba, de que no puede haber dos o más frases verdaderas.

Esto que se planteó con la frase número 7, debería servir para pensar que -quizás- lo mismo pase con otras frases, si uno supone que son ciertas.

Antes de avanzar y terminar con el análisis, ¿no le dan ganas de pensar a usted, sin que yo tenga que escribir nada más? Es que la clave de lo que pasó recién con la frase número 7 es que al ser ella la verdadera, eso dice que tiene que haber siete que son falsas (por supuesto no la 7). Pero todavía tienen que quedar dos frases verdaderas más y eso ya vimos que no puede pasar.

El único caso que impide que se produzca esa situación es si la frase verdadera es la número 9. En ese caso, uno sabría que hay exactamente nueve frases falsas. Y, en este caso, no habría problemas porque las nueve frases falsas son todas salvo la 9, que es la única verdadera.

Esa es la solución: hay una sola frase cierta, y es la número 9.

Para terminar, tengo una pregunta. Ahora que está clara la respuesta, ¿no le parece que luego de haber pensado y analizado el porqué, resulta evidente?

¿Por qué pasará en la vida que cuando uno entiende algo, después, lo que no entiende es cómo no entendía antes? (Esta frase se la debo a mi querido y recordado amigo y compañero de estudios en Exactas -UBA- Ricardo Noriega.)